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云淡风轻

云淡风轻近午天,傍花随柳过前川。

 
 
 

日志

 
 

反直觉的概率问题  

2009-06-23 00:48:08|  分类: 格物致知 |  标签: |举报 |字号 订阅

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今天coding horror写了一篇关于反直觉的概率问题。很经典的一道题:
   参赛者面对三个房门,其中一个门后里有一辆汽车,另外两个门后只有山羊。当参赛者选定一个房间后,主持人打开了某一个门,门后只有山羊。然后主持人问参赛者,你要不要改变你的答案呢?

   我看到过无数次关于这个问题的争论了。
   很多人认为,现在只有两扇门,一扇门后是汽车,一扇门后是山羊,二选一,无论改或是不改,都是只有50%的概率,没有区别。这是既往不咎的意思,就是说三个门里少掉一个无关的门,对于现在的决策,是不起作用的。
   有些人认为,不改的话是三选一,只有30%的概率,现在只有两扇,改的话相当于重选,那就是50%概率,要改。
   有些人考虑得更复杂些,他们认为,需要区分主持人是否知道哪扇门后有山羊,如果主持人知道的话,那就改,如果主持人只是碰巧开了一扇只有山羊的门,那改不改都一样。
   但事实上,如果改变答案,将会使你中奖的概率达到2/3,而不是50%。不改的话,只有1/3。不必考虑复杂的条件概率的公式,只需要想像一下,有1000个参赛者独立参加比赛,如果根本没有改答案的机会,那么将有1/3的人中奖。那么,如果可以改答案,大家全部都不改的话,也是这1/3的人中奖;大家全部都改的话,就会有2/3的人中奖。所以,如果你是参赛者,应该怎么做不是很明显了吗?这其实和主持人知不知道门后的情况是无关的,有关的只是,他打开的那扇门,门后是山羊。
   呃,其实coding horror的博文,主要是讲这个问题非常地反直觉,到了什么程度呢?有个叫Marilyn的人说最好是改答案。结果,尽管否认植物制造氧气的占13%,否认光速比声速快的占24%,认为烧开牛奶会有辐射的占35%,但是,认为Marilyn错了的美国人占92%。(不知中国会怎样……)其中有很多数学家,而且数学家都很生气地反对。还包括一个叫做 Paul Erdos 的数学家,据说是20世纪顶尖的数学家。不知是哪位科学家。

  另外附送一题,也是来自coding horror
     假设,路人甲告诉你,他有2个孩子,其中一个是女孩。那么,他另一个孩子是男是女的概率各有多少?
这个问题不同于这个:如果你生了一个女孩,那再生一个是男是女的概率各有多少。所以如果觉得答案是50-50那就错了。
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